Binomial Theorem

Use Pascal’s triangle and the binomial theorem to determine binomial coefficients. Expand (a+b)^5.

                                                         Pascal’s Triangle

(a+b)^0                                                     1

(a+b)^1                                                  1      1

(a+b)^2                                             1      2      1

(a+b)^3                                         1      3      3      1

(a+b)^4                                     1     4       6      4     1

(a+b)^5                                 1     5     10     10     5     1

 

Binomial Theorem: If n is a natural number, then…

(a+b)^{n}=nC_{0}a^{n}b^{0}+nC_{1}a^{n-1}b^{1}+nC_{2}a^{n-1}b^{2}+...+nC_{n}a^{0}b^{n}=\sum_{k=0}^{h} \frac{n!}{k!(n-k)!}a^{n-k}b^{k}

(a+b)^{5}=1a^{5}b^{0}+5a^{4}b^{1}+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5a^{1}b^{4}+1a^{0}b^{5}

 

Check your work:

n=5

k=0:\ \frac{5!}{0!(5-0)!}a^{(5-0)}b^{0}=1a^{5}b^{0}

k=1:\ \frac{5!}{1!(5-1)!}a^{(5-1)}b^{1}=5a^{4}b^{1}

k=2:\ \frac{5!}{2!(5-2)!}a^{(5-2)}b^{2}=10a^{3}b^{2}

k=3:\ \frac{5!}{3!(5-3)!}a^{(5-3)}b^{3}=10a^{2}b^{3}

k=1:\ \frac{5!}{4!(5-4)!}a^{(5-4)}b^{4}=5a^{1}b^{4}

k=5:\ \frac{5!}{5!(5-5)!}a^{(5-5)}b^{5}=1a^{0}b^{5}

=1a^{5}b^{0}+5a^{4}b^{1}+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5a^{1}b^{4}+1a^{0}b^{5}